Muotooptimointi

Muotooptimointi on optimoinnin ala, jossa pyritään parantamaan tai minimoimaan jokin suorituskykymittari optimoitavan kohteen geometrian muokkauksen avulla. Tyypillisesti kohde on alue Ω, jonka muoto vaikuttaa taustalla olevaan fysiikkaan, jota kuvaavat PDE-rajausehdot. Tavoitteita voivat olla esimerkiksi rakenteellinen jäykkyys, paino, aerodynamiikka, lämpöjohtuvuus tai akustiset ominaisuudet.

Matemaattinen perusta pohjautuu muodonderivaatteisiin ja Hadamardin muotoeriin. Niiden avulla voidaan määritellä, miten tavoitefunktio J(Ω) muuttuu, kun alueen rajaa varioidaan pienellä määrällä. Variointi voidaan mallintaa esimerkiksi rajalliseen parametrien kautta tai käyttämällä menetelmiä kuten level-set tai boundary variation, jolloin muotoa päivitetään muodossa, joka vähentää kohdefunktion arvoa PDE-ratkaisujen kautta. PDE-muuttujat (esim. elastiset, vieraslasteet tai lämpötilat) ovat osa palautetta ja vaikuttavat muotodirektiiveihin.

Menetelmät ja käytännön toteutukset vaihtelevat. Keskeisiä lähestymistapoja ovat gradienttiohjautuva muotooptimointi muodon derivoidun gradientin avulla sekä level-set- ja boundary-variationsmenetelmät, joissa muoto määritellään laskennan sisällä tehokkaasti muunneltavana tasojärjestelmänä. Disertiokohtiin liittyy usein PDE-ratkaisujen, meshin hallinnan ja regulaaristuksen yhdistäminen. Isogeometria ja muut edistyneet discretisointimenetelmät voivat parantaa geometrisen tarkkuuden ja laskennan stabiilisuuden.

Sovellukset kattavat mekaanisen suunnittelun, lentoliikenteen ja autojen suunnittelun, rakentamisen, akustiikan sekä sähkömagneettiset ja lämpöolosuhteet. Haasteisiin kuuluvat optimaalisen muodon olemassaolon ja identiteetin varmistaminen, monikriteeriset tavoitteet, epälineaariset PDE:t ja valmistettavuuden rajoitukset sekä laskennan kustannukset. Muotooptimointi on usein erillään topology-optimoinnista, joka voi muuttaa kohteen topologiaa.