Multiplicativní

Multiplicativní (v kontextu aritmetických funkcí) je pojem z číslicové teorie. Funkce f: N → C se nazývá multiplicativní, pokud f(1) = 1 a pro všechna čísla m a n s gcd(m, n) = 1 platí f(mn) = f(m) f(n). Tato podmínka vyjadřuje, že hodnota f na součinu dvou čísel, která si vzájemně nesměřují, se rovná součinu jejich hodnot.

Úplně multiplicativní (neboli totally multiplicative) funkce splňují silnější podmínku: f(mn) = f(m) f(n) pro všechna m a n bez ohledu na jejich vzájemnou dělitelnost. Rozdíl mezi multiplicativní a úplně multiplicativní funkcí je tedy v tom, zda platí rovnost pro všechna čísla nebo jen pro čísla nesdílející společného dělitele.

Mezi příklady patří:

- f(n) ≡ 1 je úplně multiplicativní; f(mn) = 1 = 1·1.

- identická funkce id(n) = n je úplně multiplicativní, protože id(mn) = mn = m·n = id(m) id(n).

- Eulerova funkce φ(n) a Möbiova funkce μ(n) jsou multiplicativní; μ není úplně multiplicativní.

- počet dělitelů d(n) (neboli τ(n)) je multiplicativní, ale obvykle není úplně multiplicativní.

Vlastnosti a souvislosti: součin dvou multiplicativních funkcí je multiplicativní; Dirichletův konvolut f ∗ g, pokud jsou f a g multiplicativní, je též multiplicativní. Pro multiplicativní funkce často existuje Eulerův produkt v souvislosti s Dirichlet řetězci a sériemi.

Použití: multiplicativnost umožňuje studovat aritmetické funkce prostřednictvím lokálních faktorů na prvočíslech a je klíčová v teoriích L-funkcí, Eulerových produktech a odhadech pro počet čísel s určitou vlastností.