Multinominaalijakauma

Multinominaalijakauma on todennäköisyysjakauma, joka kuvaa toistettujen riippumattomien kokeiden sarjan tuloksia, joissa jokaisella kokeella on enemmän kuin kaksi mahdollista lopputulosta ja näiden lopputulosten todennäköisyydet ovat kiinteät jokaisessa kokeessa. Toisin kuin binomijakauma, jossa on vain kaksi mahdollista lopputulosta (onnistuminen tai epäonnistuminen), multinominaalijakauma käsittelee tilanteita, joissa on $k$ erilaista lopputulosta, missä $k > 2$.

Jokainen koe on riippumaton edellisistä ja tulevista kokeista. Jokaisen lopputuloksen todennäköisyys pysyy samana jokaisessa kokeessa. Jos suoritetaan $n$ koetta, ja jokaisella kokeella on $k$ mahdollista lopputulosta, joiden todennäköisyydet ovat $p_1, p_2, \ldots, p_k$, missä $\sum_{i=1}^k p_i = 1$, niin multinominaalijakauma antaa todennäköisyyden tietylle määrälle kertoja, jolloin kukin lopputulos esiintyy.

Jos $x_1, x_2, \ldots, x_k$ ovat kertoja, joilla kukin lopputulos esiintyy, niin että $\sum_{i=1}^k x_i = n$, niin multinominaalijakauman todennäköisyysfunktio on:

$P(X_1 = x_1, X_2 = x_2, \ldots, X_k = x_k) = \frac{n!}{x_1! x_2! \ldots x_k!} p_1^{x_1} p_2^{x_2} \ldots p_k^{x_k}$.

Multinominaalijakaumaa käytetään tilanteissa, kuten noppien heitot, joissa on useita mahdollisia tuloksia, tai kyselytutkimuksissa, joissa vastaajat voivat valita useista eri vaihtoehdoista. Se on yleistys binomijakaumasta useammalle kuin kahdelle luokalle.