Multinominaalijakaumaa

Multinominaalijakauma on tilastollinen malli, joka kuvaa n riippumatonta kokeilua, joista jokaisessa on k vaihtoehto tai luokkaa ja kullekin luokalle on määritelty todennäköisyys p1, p2, ..., pk, joista summa on 1. Kokeiden tuloksena muodostuu määrien vektori X = (X1, X2, ..., Xk), jossa Xi kertoo kuinka monesti luokka i esiintyi. Pääosa tilanteista on, että X1 + X2 + ... + Xk = n.

Todennäköisyysmassafunktio (PMF) on P(X1 = x1, ..., Xk = xk) = n! / (x1! x2! ... xk!) · p1^x1 · p2^x2 · ... · pk^xk, jossa x1, ..., xk ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja ja summa on n. Parametreina ovat n ja todennäköisyysvektori p = (p1, ..., pk), joka täyttää pi ≥ 0 ja ∑ pi = 1. Moninomiaalijakauma on siis yhteinäinen yleisö, jonka marginaalit voivat olla binomiaalijakaumia, mutta muuttujat X1,...,Xk ovat kieltäytyneiden summattomuuden vuoksi ei-vapaita.

Ominaisuuksia: E[Xi] = n pi, Var(Xi) = n pi (1 − pi), ja Cov(Xi, Xj) = −n pi pj (i ≠ j). MGF on (p1 e^{t1} + p2 e^{t2} + ... + pk e^{tk})^n. Kun k = 2, jakauma supistuu binomiaalijakaumaksi Xi ~ Bin(n, pi), jolloin pi = P(luokka 1).

Käyttöesimerkkejä ovat kyselytutkimukset, laatutuotantotutkimukset ja genomianalyysit, joissa mitataan useita toisiaan poissulkevia luokkia. Estimaatit pi:n ovat yleensä maksimaalisia todennäköisyysperiaatteella: pi_hat = xi / n.