Medianwert

Der Medianwert ist in der Statistik der mittlere Wert einer geordneten Stichprobe oder Verteilung. Gegeben n Beobachtungen x1, ..., xn, sortiert in aufsteigender Reihenfolge: x(1) ≤ x(2) ≤ ... ≤ x(n). Falls n ungerade ist, ist der Median x((n+1)/2). Falls n gerade ist, ist der Median der Durchschnitt der beiden mittleren Werte x(n/2) und x(n/2 + 1). In der Populationssicht bezeichnet der Median den Wert m, der P(X ≤ m) ≥ 0,5 und P(X ≥ m) ≥ 0,5 erfüllt.

Der Median minimiert die Summe der absoluten Abstände: Er ist die Lösung von y, das minimizes Σ|x_i − y|. Im Gegensatz zum Mittelwert ist der Median robuster gegenüber Ausreißern und schiefen Verteilungen, da extreme Werte weniger Einfluss haben.

Berechnung: Für kleine Stichproben genügt das Sortieren; bei großen Datenmengen verwendet man Auswahlalgorithmen (z. B. Quickselect), um den mittleren Rang direkt zu bestimmen, ohne alle Werte vollständig zu sortieren.

Anwendungen: Deskriptive Statistik, Box-Plots, robuste Schätzungen, nichtparametrische Tests. Der Median dient auch als zentrale Kennzahl bei schiefen Verteilungen.

Beispiele: Eine Datenreihe [3, 1, 4, 2, 5] sortiert zu [1, 2, 3, 4, 5] hat Median 3. Eine gerade Stückzahl [1, 2, 3, 4] hat Median (2 + 3)/2 = 2,5.

Siehe auch: Percentil, Quartil, Interquartilsabstand, Mittelwert, Modus, Ordnungstatistiken.