Maximierungsproblem

Ein Maximierungsproblem ist ein Optimierungsproblem, bei dem eine Zielgröße, üblicherweise eine Nutzen-, Gewinn- oder Kostenfunktion, maximiert wird. Die Entscheidungsträger wählen Werte für Entscheidungsvariablen x, um eine zulässige Lösung zu finden. Die Zielfunktion f(x) soll möglichst groß sein, während Nebenbedingungen den Handlungsraum einschränken.

Formale Darstellung: max f(x) = ... subject to g_i(x) ≤ 0, h_j(x) = 0, und x gehört zu einem zulässigen Bereich X. Die Menge X ergibt sich aus den Nebenbedingungen. Eine Lösung ist ein x* ∈ X, für das f(x*) ≥ f(x) für alle x ∈ X.

Typen und Eigenschaften: Maximierungsprobleme können linear, nichtlinear, ganzzahlig oder gemischt-ganzzahlig sein. Lineare Programme haben eine lineare Zielfunktion und lineare Nebenbedingungen. Oft ist die zulässige Menge konvex, was zu globalen Maxima führt; bei Nichtkonvexität können lokale Maxima auftreten.

Lösungsmethoden: analytische Ansätze wie Lagrange-Multiplikatoren bzw. KKT-Bedingungen, sowie numerische Verfahren wie Gradientenaufstieg, Newton-Verfahren, interior-point- oder Simplex-Methoden. Bei diskreten Entscheidungen kommen Branch-and-Bound, Cutting-Planes oder heuristische Verfahren zum Einsatz.

Anwendungen: Ressourcenallokation, Produktionsplanung, Transport- und Logistikprobleme, Finanz- und Wirtschaftsanalyse, Energieoptimierung. Maximierung wird oft abseits von Funktionalität der Kostenminimierung betrachtet; Bedeutungen in der Praxis hängen von der Modellierung der Ziele und Randbedingungen ab.