Maximalvärde

Maximalvärde är inom matematiken det största värdet en funktion uppnår på en given domän D. Om det finns ett x0 i D så att f(x0) ≥ f(x) för alla x i D, kallas f(x0) ett globalt maximalt värde och x0 är en global maximipunkt. Om jämvikten endast gäller inom en närhet kring x0 talar man om ett lokalt maximalt värde och x0 är en lokal maximipunkt.

Existerande maximala värden är inte alltid uppnådda. Om D är sluten och begränsad och f är kontinuerlig uppnår f ett maximum på D (Weierstrass sats). Om maximum inte uppnås kan f ha ett supremum (övre gräns) som inte är ett värde av f på D. Begreppet supremum används när man behöver en övre gräns utan att fastslå att den uppnås av funktionens värde inom domänen.

I differentialkalkylen används riktlinjer för att avgöra lokala maxima. För en endimensionell funktion f: R → R gäller att om f är differentiell och f'(x0)=0 samt f''(x0) < 0 så är x0 ett lokalt maximum. I flerdimensionell ståndpunkt krävs att gradienten ∇f(x0)=0 och att Hessianmatrisen H(x0) är negativt semidefinit för att x0 ska vara ett lokalt maximum. För globalt maximum behöver man ofta starkare villkor, som concavitet på hela domänen eller kännedom om begränsningar.

Relaterade begrepp inkluderar minimalt värde, lokala och globala extremvärden samt begreppen maximum, supremum och övre gräns. Maximalvärde används inom optimering, ekonomi, vetenskaplig analys och databehandling när man söker den största möjliga uppnådda värdet av en funktion.