Matrisefunksjoner

Matrisefunksjoner er en måte å tilordne en ny matrise til hver kvadratiske matrise gjennom en funksjon som er definert på tall eller komplekse tall. Med andre ord, hvis f er en funksjon definert på et område som inneholder alle egenverdier til en matrise A, kan man definere en matrise f(A). Dette utvider måten man bruker funksjoner på til scalare til å gjelde for matriser.

Hvordan man definerer f(A) avhenger av egenskapene til A. For diagonaliserbare matriser, der A = V Λ V^{-1} med Λ som diag av eigenverdier λ_i, er f(A) = V f(Λ) V^{-1}, og f(Λ) er diag av f(λ_i). For ikke-diagonaliserbare matriser brukes Jordanformen; da involverer f(J) blokker som avhenger av derivater av f ved λ, og vanlige regler ligger til grunn i praktisk beregning. Generelt kreves at f er analytisk i et område som inneholder spekteret til A, eller at f kan representeres som en konvergerende potensrekke.

Vanlige eksempler inkluderer matriseeksponensialet exp(A), matriselogaritmen log(A), og matristrigotermer som sin(A) og cos(A). Potenser av matriser A^p, samt andre funksjoner definert via serier eller Padé-approksimasjoner, er også typiske matrisefunksjoner. En viktig egenskap er spektral avbildingsteorem: spekteret til f(A) er i området tilfelle av f av spekteret til A når f er analytisk.

Bruksområder og beregning: matrisefunksjoner brukes i løsning av differensialligninger, kontrollteori, kvantemekanikk og numerisk lineær algebra. Beregningene skjer ofte via diagonalisering, jordansk form, eller numeriske tilnærminger som Padé-tilnærminger og scaling-and-squaring for exp(A).