Matriisiyhtälö

Matriisiyhtälö on yhtälö, jossa yksi tai useampi muuttuja esiintyy matriisimuodossa. Yksinkertaisin matriisiyhtälö on muotoa AX = B, missä A ja B ovat tunnettuja matriiseja ja X on tuntematon matriisi, joka halutaan ratkaista. Toinen yleinen muoto on XA = B, jossa tuntematon matriisi X on oikealla. Myös monimutkaisempia muotoja, kuten AXB = C tai yhtälöitä, jotka sisältävät useita eri tuntemattomia matriiseja, on olemassa.

Matriisiyhtälöiden ratkaiseminen perustuu usein matriisioperaatioihin, kuten matriisikertolaskuun, transponointiin, determinantin laskemiseen ja matriisin kääntämiseen. Yhtälön AX = B ratkaisemiseksi voidaan kertoa yhtälön molemmat puolet vasemmalta A:n käänteismatriisilla A⁻¹, mikäli A:lla on käänteismatriisi. Tällöin saadaan A⁻¹AX = A⁻¹B, josta seuraa IX = A⁻¹B, eli X = A⁻¹B. Tässä I on identiteettimatriisi.

Matriisiyhtälöitä käytetään monilla matematiikan ja luonnontieteiden aloilla, esimerkiksi lineaarialgebrassa, fysiikassa, tietokonegrafiikassa ja signaalinkäsittelyssä. Niitä hyödynnetään esimerkiksi lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisemisessa, transformaatioiden esittämisessä ja erilaisten mallien rakentamisessa. Matriisiyhtälöiden ratkaisemisen edellytyksenä on usein se, että matriisit ovat yhteensopivia koko- ja tyyppivaatimuksiltaan matriisioperaatioita varten.