Matriisiryhmät

Matriisiryhmät ovat joukko matriiseja, jotka muodostavat ryhmän ryhmätoimituksen suhteen. Ryhmän määritelmän mukaan joukon on oltava suljettu yhteenlaskun, assosiatiivisuuden, identiteettialkion ja käänteisalkion suhteen. Matriisiryhmien tapauksessa tämä tarkoittaa, että jos A ja B ovat matriisiryhmän jäseniä, niin myös niiden summa A + B, niiden tulo AB, identiteettimatriisi I ja käänteismatriisi A⁻¹ ovat ryhmän jäseniä. Matriisiryhmät ovat tärkeitä monilla matematiikan ja fysiikan aloilla, kuten lineaarialgebrassa, differentiaaligeometriassa ja kvanttimekaniikassa.

Yleisiä esimerkkejä matriisiryhmistä ovat yleinen lineaarinen ryhmä GL(n, R), joka koostuu kaikista kääntyvistä n x n reaalisista matriiseista neliömatriisien kertolaskun suhteen. Toinen tärkeä esimerkki on ortogonaalinen ryhmä O(n), joka koostuu n x n ortogonaalisista matriiseista. Ortogonaaliset matriisit säilyttävät etäisyydet ja kulmat. Erikoisryhmä SO(n) on ortogonaalisten matriisien osajoukko, jonka determinantti on 1.

Matriisiryhmien tutkiminen auttaa ymmärtämään lineaarisia muunnoksia ja niiden ominaisuuksia. Ne tarjoavat rakenteellisen kehyksen erilaisten matemaattisten ja fysikaalisten järjestelmien kuvaamiseen ja analysointiin.