matriiseista

Matriisi on kaksidimensionaalinen numerojoukko, joka on järjestetty rivien ja sarakkeiden mukaan. Merkitään A = [a_ij], jossa i = 1,…,m ja j = 1,…,n. Koko on m × n, ja alkiota a_ij merkitään rivillä i ja sarakkeessa j. Matriiseja käytetään edustamaan lineaarisia suhteita ja transformaatiotilanteita sekä numeerisia malleja.

Peruslaskutoimet matriisille ovat yhteenlasku, kertominen skalarilla sekä matriisien summa. Saman kokoiset A ja B voidaan lisätä, jolloin alkiot lasketaan erikseen a_ij + b_ij. Matriisien tulo AB on määritelty, kun A on m × n ja B on n × p, jolloin tuloksena on m × p -matriisi C = AB. Transponointi A^T vaihtaa rivit ja sarakkeet, niin että alkiot siirtyvät (i, j) → (j, i). Identiteettimatriisi I on diagonaalinen matriisi, jossa on 1:n päädiagonaalilla ja kaikki muut alkiot 0.

Erityistyyppeihin kuuluvat diagonaalimatriisit (kaikki ei-diagonaaliset alkiot 0), symmetriset matriisit (A^T = A) sekä epäsymmetriset matriisit (A^T = −A). Determinantti det(A) on n × n -matriisille skalaari, joka mittaa matriisin invertattavuutta. Jos det(A) ≠ 0, matriisilla on käänteismatriisi A^{-1}, jolle AA^{-1} = A^{-1}A = I. Lineaaristen järjestelmien ratkaisuja voidaan hakea Gaussin eliminoinnilla tai käyttämällä käänteismatriisia, jolloin ratkaisu on x = A^{-1}b.

Sovellukset kattavat lineaariset järjestelmät, lineaariset transformaatiot ja grafiikka, tilastotiede sekä koneoppiminen. Matriisialgebra kehittyi 1800-luvulla, kun Arthur Cayley ja James Joseph Sylvester systematisoivat käsitteen; aikaisemmin Gauss käytti menetelmiä lineaaristen järjestelmien ratkaisuun.