Maksimumit

Maksimumit ovat funktion tai sekvenssin suurimpia arvoja. Matematiikassa puhutaan maksimaaleista silloin, kun kyseessä oleva arvo on suurempi tai yhtä suuri kuin kaikki muut tarkasteltavat arvot tietyllä määrittelyalueella. Tässä yhteydessä puhutaan usein absoluuttisesta (global) maksimaalisesta arvosta sekä lokaalisesta maksimaalisesta arvosta. Absoluuttinen maksimi on suurin arvo koko tarkasteltavalla alueella, lokaali maksimi on arvo, joka on suurin lähialueen arvojen joukossa, ei välttämättä koko alueen suurin.

Kun tarkastellaan funktiota f, maksimaalia voidaan löytää esimerkiksi pisteestä x0, jossa f(x0) ≥ f(x) kaikilla x:n lähialueella (lokaali maksimi) tai kaikilla x:llä määrittelyalueella (absoluuttinen maksimi). Jos f on jatkuva ja määritelty suljetulla suljetussa välillä tai kompaktilla alueella, maksimi sekä minimit ovat olemassa (Weierstrassin lause). Toisaalta avoin alue tai epäjatkuva funktio voivat aiheuttaa maksimin puuttumisen.

Kertauslaskussa maksimiin liittyy useita testiä: yhden muuttujan funktioissa kriittinen piste x0, missä f'(x0) = 0 tai f' ei ole määritetty, voi antaa lokaalin maksimin tai minimin; toinen derivativesäännöistä (f''(x0) < 0 → lokaali maksimi; f''(x0) > 0 → lokaali minimi) tarjoaa lisäarvoa. Monimuuttujaisessa tapauksessa gradientin nollakohtien lisäksi tarkastellaan Hessian-matriisista sääntöjä (negatiivisesti definite -> lokaali maksimi).

Maksimumeilla on laaja käyttöala optimoinnissa, taloustieteissä ja tilastotieteissä. Esimerkkejä ovat hyöty- tai todennäköisyyssarjojen maksimaaliset arvot sekä koneoppimisessa log-menojen tai todennäköisyyksien maksimoiminen. Maksimit voivat myös olla epäsaavutettavissa, jolloin puhutaan supremaalista arvosta tai siitä, että maksimi ei ole saavutettu tarkasti.

Määritelmissä ja peruslaskussa rajoja sekä rajapisteitä on tärkeää erottaa, jotta voidaan ymmärtää, missä tapauksessa maksimi tosiasiallisesti löytyy ja milloin se puuttuu.