Maksimoituminen

Maksimoituminen on prosessi, jossa pyritään löytämään funktion tai tavoitteen suurin mahdollinen arvo. Yleinen ilmaisu on etsiä x ∈ D siten, että f(x) on suurin mahdollinen, tässä f on kohdefunktio ja D sen määrittelyalue. Maksimoitumista voidaan tarkastella sekä ei- että rajoitettuna ongelmana: ilman erillisiä rajoitteita D voi olla koko tilan kaltainen, kun taas rajoitetussa optimoinnissa x täytyy täyttää tietyt ehdot.

Maksimoitumisongelma muodollisesti: etsitään x* ∈ D siten, että f(x*) ≥ f(x) kaikilla x ∈ D. Eri tapauksissa puhutaan globaalista maksimiarvosta tai paikallisesta maksimiarvosta. Paikallinen maksimi on arvo, jota lähialueelta ei voida kasvattaa, mutta joka ei välttämättä ole suurin koko määrittelyalueella. Globaalin maksimin löytäminen voi olla haastavaa, erityisesti ei-konveksisissa ongelmissa.

Maksimoitumista käsitellään useilla aloilla. Matematiikassa se voi tarkoittaa analyysiä derivoiden avulla ja kriittisten pisteiden sekä todennäköisten toisen kertaluvun kokeiden kautta. Konstruoiduissa ongelmissa käytetään rajoitteiden kanssa Lagrangen menetelmää. Kun kuva on konveksi ja kohdefunktio on joko konveksinen tai konkaavinen tarpeen mukaan, maksimaatio saattaa olla yksikäsitteinen tai jopa helppo löytää.

Esimerkkejä: f(x) = −(x−2)²+5 saavuttaa maksimin arvon 5, kun x = 2. Taloustieteessä kuluttajat maksimoivat utiliteettinsa budjetin puitteissa. Koneoppimisessa maksimoidaan usein todennäköisyys- tai tappiofunktio, jotta malli parantaisi suorituskykyään.