Lévyprosesseja

Lévyprosesseja ovat stokastiset prosessit, jotka kuvaavat satunnaisia kävelyitä, joissa on satunnaisen pituisia askelia. Ne ovat yleistys Brownin liikeelle, ja niille on ominaista riippumattomat ja tasaisesti jakautuneet lisäykset. Tämä tarkoittaa, että prosessin käyttäytyminen tiettynä ajanjaksona riippuu vain kyseisen ajanjakson pituudesta, ei sen alkamisajankohdasta tai aiemmasta kehityksestä. Lévyprosessit ovat jatkuva-aikaisia, satunnaisia prosesseja, jotka alkavat nollasta.

Keskeisiä Lévyprosesseihin liittyviä käsitteitä ovat tasaisesti jakautuneet lisäykset ja riippumattomuus. Nämä ominaisuudet tekevät niistä hyödyllisiä mallinnettaessa monenlaisia ilmiöitä, kuten osakekurssien vaihtelua, hiukkasten liikkumista ja satunnaisia puita. Eri Lévyprosesseilla on erilaisia hyppyominaisuuksia, jotka heijastavat mallinnettavan ilmiön luonnetta.

Yksi tunnetuimmista Lévyprosesseista on Brownin liike, joka tunnetaan myös Wienerin prosessina. Brownin liike kuvaa jatkuvaa, mutta epäsäännöllistä liikkumista. Muita esimerkkejä ovat Poissonin prosessi, joka mallintaa tapahtumien satunnaista esiintymistä ajan funktiona, ja log-normaalinen prosessi. Lévyprosessien matemaattinen teoria on laaja ja sisältää monimutkaisia tuloksia, kuten Lévy-Khintchine-esityksen, joka kuvaa Lévyprosessien yleistä muotoa. Näitä prosesseja käytetään laajalti rahoitusmatematiikassa, fysiikassa ja muilla tieteenaloilla.