Lévyprosessit

Lévyprosessit ovat joukko stokastisia prosesseja, joita käytetään monilla matematiikan ja fysiikan aloilla, erityisesti todennäköisyysteoriassa ja satunnaiskulkuja tutkivassa kirjallisuudessa. Ne ovat satunnaisia prosesseja, joiden yksi tärkeimmistä ominaisuuksista on riippumattomat ja tasaisesti jakautuneet lisäykset. Tämä tarkoittaa, että prosessin muutos tietyn aikavälin aikana ei riipu sen aiemmasta historiasta ja että muutos samankokoisissa aikaväleissä jakautuu aina samalla tavalla.

Keskeisiä Lévyprosessien esimerkkejä ovat Brownin liike ja sen yleistykset, kuten stabiilit prosessit. Brownin liike on jatkuva satunnainen prosessi, joka kuvaa hiukkasen satunnaista liikerataa nesteessä tai kaasussa. Stabiilit prosessit ovat yleisempiä Lévy-prosessien luokkia, joihin Brownin liikekin kuuluu. Ne kuvaavat ilmiöitä, joissa satunnaiset "hypyt" tai muutokset voivat olla merkittäviä.

Lévyprosessien matemaattinen rakenne perustuu Lévy–Khintchine-esitykseen, joka kuvaa prosessin ominaisuuksia karakteristisen funktion avulla. Tämä esitys jakaa Lévy-prosessin kolmeen osaan: jatkuva osa, joka vastaa yleensä Brownin liikettä; hyppäävä osa, joka kuvaa satunnaisia diskreettejä muutoksia; ja erillinen osa, joka voi olla satunnaista levyä. Näiden prosessien tutkimus on tärkeää mallinnettaessa ilmiöitä, joissa satunnaisuus ilmenee sekä jatkuvana kohinana että epäjatkuvina, yllättävinä muutoksina. Sovelluksia löytyy esimerkiksi rahoitusmatematiikasta, kvanttikenttäteoriasta ja kuvan käsittelystä.