Längdkurva

Längdkurva är ett svenskt begrepp som används inom flera olika discipliner och pekar generellt på en kurva som är kopplad till längden längs kurvan. Inom matematik betecknar längdkurva ofta ark-längdsparametrisering, det vill säga en parameterisering där kurvan används i form av dess längd snarare än en godtycklig tids- eller rumslig parameter. För en reguljär kurva γ: [a,b] → R^n är längden av delstücket mellan a och t givet av s(t) = ∫_a^t ||γ'(u)|| du. Om det finns en invers funktion t(s) kan man definiera en ny kurva γ̃(s) = γ(t(s)) som följer arklängdens parametrisering, vilket betyder att ||dγ̃/ds|| = 1 längs hela kurvan.

En fördel med ark-längdparameterisering är att den förenklar många geometriska egenskaper. Till exempel är krökningen κ(s) ofta definierad som ||d^2γ̃/ds^2|| när kurvan är parametriserad med arklängd, och Frenet-Serret-formlerna blir särskilt bekväma i denna parametrisering. Längdkurvor används därför ofta i differentialgeometri för att studera kurvors och ytors inre geometri utan att parametriseringen påverkar längden.

Inom civilingenjörsvetenskap används termen längdkurva för att beskriva den longitudinella kurvan eller profilen längs en väg, järnväg eller annan transportled. Den longitudinala profilen anger höjder, lutningar och vertikala kurvor längs färdvägen och används vid projektering för att bedöma sikt, dränering och köregenskaper. Vanliga element är sväng- och sagkurvor (crest- och sag curves) som påverkar komfort och säkerhet.