Lähenemispunkti

Lähenemispunkti mõiste kirjeldab punkti, kuhu mingi protsess, järjendus või funktsioon kaldub või mille poole see püüab, kuid see punkt ei pruugi alati realiseeruda. See on lai mõiste, mida kasutatakse erinevates matemaatilise analüüsi ja dünaamika kontekstides.

Topoloogilises kontekstis nimetatakse p S-i lähenemispunktiks, kui iga ümbrus U p sisaldab vähemalt ühte S-i punkti, mis on p-st erinev. Sellist punkti iseloomustab, et ta on sageli osa hulga sulgust; kogu sulgunud hulk koosneb algsest hulgast ja selle lähenemispunktidest.

Järjendi korral koondub x_n punkti a, siis a on selle järjendi lähenemispunkt. Sel juhul piirväärtus kirjeldab, mille poole järjendus läheneb.

Funktsiooni puhul tähistab, kui lim_{x→a} f(x) = L, siis a on f-i jaoks lähenemispunkt; see on argument, mille ümbruses funktsiooni väärtused kalduvad väärtusele L.

Rakendused hõlmavad konvergensuse analüüsi numbrilistes meetodites, piirväärtuste määramist ja dünaamiliste süsteemide uurimist, kus asukoht või väärtus muutub järjest.

Näide: x_n = 1/n koondub 0-ile; seega 0 on selle järjendi lähenemispunkt. Funktsioon f(x) = sin x / x puhul, x → 0, lim f(x) = 1; 0 on lähenemispunkt argumendi jaoks. Newtoni meetod võib konvergeeruda lähenemispunkti x*, mis on funktsiooni nullpunkt.

Etymoloogia: nimetus tuleneb sõnadest „lähenema” ja „punkt”.