piirväärtuste

Piirväärtuste mõiste on matemaatikas keskne. Piirväärtused kirjeldavad väärtust, mida funktsioon või järjestus läheneb, kui muutuja x või indeks n läheneb kindlale punktile või lõpmatusele.

Funktsiooni piirväärtus lim_{x→a} f(x) = L on olemas, kui iga ε>0 jaoks on olemas δ>0, nii et 0<|x−a|<δ ⇒ |f(x)−L|<ε. Selline L öeldakse piirväärtuseks ja kirjutatakse lim_{x→a} f(x) = L. Piirväärtus on olemas ka siis, kui see juhtub ainult ühel pool: lim_{x→a+} f(x) ja lim_{x→a−} f(x).

Kui f(x) kasvab või kahaneb lõpmatult, nimetatakse piirväärtust ∞ või −∞ või öeldakse, et piirväärtus puudub reaalsetes väärtustes.

Järjestuste puhul defineeritakse piirväärtus: lim_{n→∞} a_n = L, kui kõigi ε>0 jaoks on N selline, et n≥N ⇒ |a_n−L|<ε.

Näited: Näide 1: lim_{x→1} (x^2−1)/(x−1) = 2, kuna funktsiooni võib teisendada x+1 ja x→1 annab 2. Näide 2: lim_{x→0} sin x / x = 1. Näide 3: lim_{n→∞} 1/n = 0.

Seos pidevusega: kui lim_{x→a} f(x) = f(a), siis f on pidev punktis a. Piirväärtuste mõiste on analüüsi põhialus, mida kasutatakse derivatsioonide, integratsioonide ning erinevate lähenusmeetodite mõistmiseks ja tõlgendamiseks.