Topoloogilises

Topoloogia on matemaatika haru, mis uurib ruumide omadusi, mis püsivad muutmiste korral ning mida ei mõjuta täpne kuju või suurus. Põhiidee on keskenduda suhete struktuurile punktide vahel, mitte mõõtmetele.

Topoloogiline ruum on paar (X, T), kus X on hulk ja T on selle avatud huljade kogum. T peab rahuldama: tühi hulk ja X kuuluvad T; iga avatud huljade ühend kuulub T; lõplikud lõiked avatud huljade kaupa kuuluvad T. Hulki, mis kuuluvad T, nimetatakse avatud hulkadeks.

Kontinuitus on keskne mõiste. F: (X, T_X) → (Y, T_Y) on continuous, kui iga avatud hulk U ⊆ Y puhul f^{-1}(U) on avatud X-s. See kirjeldab, kuidas funktsioonid ruume muutmata ühendavad.

Olulised mõisted on ühenduvus ja kompaktus. Ühenduv ruum ei saa jagada kaheks lahus avatud osaks. Kompaktne hulk tähendab, et iga avatud katte korral on olemas lõplik alamhulk, mis sama katet katab.

Tüübid ja näited. Eukleidiline topoloogia R^n-ruumis on tavaline näide; lisaks on olemas alamruumi topoloogia (alamruumi jaoks), toote-topoloogia ja kvoti-topoloogia.

Rakendused ja tähendus. Topoloogia on aluseks paljudele matemaatika valdkondadele, sealhulgas analüüsile ja geomeetriale, ning selle kontseptsioone kasutatakse ka dünaamilistes süsteemides ja andmeteaduses, kus on oluline ruumi struktuuri mõistmine.