LorentzTransformationen

Lorentztransformationen sind lineare Transformationen zwischen Koordinaten zweier inertialer Bezugssysteme, die sich mit konstanter Relativgeschwindigkeit zueinander bewegen. Sie bewahren die Struktur der Raumzeit und die Minkowski-Metrik; zusammen mit Rotationen bilden sie die Lorentz-Gruppe O(1,3). In der speziellen Relativitätstheorie ersetzen sie die Galilei-Transformationen und erklären Phänomene wie Zeitdilatation und Längenkontraktion.

Für eine Bewegung längs der x-Achse mit Geschwindigkeit v gilt: x' = γ (x − vt), t' = γ (t − vx/c^2), y' = y, z' = z, wobei γ = 1/√(1−v^2/c^2).

Bei allgemeiner Bewegung mit v = (v_x, v_y, v_z) lässt sich die Transformation durch eine 4×4-Matrix Λ verallgemeinern. x'^μ = Λ^μ_ν x^ν, wobei x^μ = (ct, x, y, z)^T. Die Matrix eines Boosts hat die Form:

Λ^0_0 = γ,

Λ^0_i = Λ^i_0 = −γ β_i,

Λ^i_j = δ_{ij} + (γ − 1) β_i β_j / β^2,

mit β_i = v_i/c und β^2 = β·β.

In der Darstellung wird die Erdachse durch Λ die Transformation der Koordinaten koordiniert; die metrische Struktur bleibt durch Λ^T η Λ = η erhalten, wobei η = diag(1,−1,−1,−1).

Invariants: Der Raumzeit-Abstand s^2 = c^2 t^2 − x^2 − y^2 − z^2 bleibt unverändert. Die Lorentztransformationen begründen außerdem die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen.

Historisch: Lorentz entwickelte die Transformationen im Kontext der Elektromagnetik; Einstein führte 1905 deren Bedeutung als Kernelement der speziellen Relativitätstheorie aus. Anwendungen finden sich in der Koordinatentransformation, der Transformation von Feldern in der Elektrodynamik, der Teilchenphysik und als Bausteine der Poincaré-Gruppe.