Lognormaalinen

Lognormaalinen jakauma on stokastinen jakauma, jossa muuttuja X on suuresti aina positive, ja sen luonnollinen logaritmi ln(X) on normaalisti jakautunut. Tällöin X ∼ LN(mu, sigma^2), missä mu on ln(X)–nollahyllyn odotusarvo ja sigma > 0 on ln(X)–standard deviation. Tämä tarkoittaa, että X on logaritmisesti normaalijakautunut.

Tiivistetyt ominaisuudet: X > 0 ja jakauma on oikealle skewed, eli pitkähkö häntä oikealle. Mediaani on exp(mu), ja odotusarvo sekä varianssa ovat E[X] = exp(mu + sigma^2/2) ja Var(X) = (exp(sigma^2) − 1) exp(2 mu + sigma^2). Muut momentit ja korkeat hetkien lukuarvot ovat suurempia kuin normaalijakelussa vastaavat, mikä selittää oikeanpuoleista vinoutta.

Tiivis kaava: tiheysfunktio f_X(x) = (1 / (x sigma sqrt(2π))) exp( − (ln x − mu)^2 / (2 sigma^2) ), kun x > 0.

Parametrisaatio ja tulkinta: yleisin kaksiparametrinen muoto (mu, sigma) määrittelee lognormalisen jakauman, mutta voi käyttää vaihtoehtoista parametriikkaa, kuten kiinteää skaalan arvoa exp(mu) ja muotoa sigma. Mediaani on exp(mu), kun taas keskiarvo riippuu sekä mu:sta että sigma:sta.

Suhteet ja sovellukset: kun muuttuja syntyy tuotannollisesta multiplikatiivisesta prosessista, ln(X) on usein normaalisti jakautunut ja X on lognormalinen. Käytetään laajasti taloudessa (esim. osakehinnoissa), biologian mittasuhteissa, koko- ja massakoko- sekä turvallisuus- ja ympäristödataan.

Rajoitteet: lognormalinen ei saa negatiivisia arvoja, ja erittäin suuret nerot voivat vaikeuttaa mallin tallennusta; malleja arvioidaan usein log-transformaation kautta.