Parametrisaatio

Parametrisaatio on matematiikassa tapa esittää geometrian kohteita parametrien avulla. Käytännössä se on kartta P -> R^n, jonka kuvan pisteet muodostavat kyseisen kappaleen. Yleisimmät tapaukset ovat käyrien ja pintojen parametrisaatiot. Esimerkiksi käyrä γ: I -> R^2 tai R^3 määrittelee käyrän pisteet γ(t) = (x(t), y(t)) talla I:lla. Esimerkki ympyrästä on γ(t) = (cos t, sin t) t ∈ [0, 2π).

Pinnan parametrisaatioissa pisteet saadaan kartalla r(u,v): U ⊂ R^2 -> R^3, jossa pinta on r(U). Esimerkiksi pallo ja pinta voidaan kuvata eri koordinaattimuodoilla; tavallinen pallopinnan parametrisaatio on r(φ, θ) = (sin φ cos θ, sin φ sin θ, cos φ), jossa φ ∈ [0, π], θ ∈ [0, 2π).

Regulariteetti ja reparametrisaatio: Käyrän parametrisaatio on sanottu säännölliseksi, jos γ′(t) ≠ 0 kaikilla t I:llä. Pintojen osalta riittävä on, että partial derivativet ∂r/∂u ja ∂r/∂v ovat toisistaan lineaarisesti riippumattomia. Kappaleita voidaan kuvailla useilla eri parametrisoinneilla samalla geometorialla; reparametrisaatio tarkoittaa toisen parametroinnin käyttämistä samalle kappaleelle, usein kuvattuna koostamalla parametröintiin diffeomorfismi φ: J -> I.

Käytännön merkitys: parametrisaatio mahdollistaa pinta- ja käyrämittojen (pituus, pinta-ala) laskemisen sekä organisoidun, koordinaattilähtöisen analyysin. Esimerkiksi käyrän pituus L = ∫_I |γ′(t)| dt ja pinta-ala A = ∫∫_U |∂r/∂u × ∂r/∂v| du dv.