Linjärkombinationer

Linjärkombinationer är uttryck som blandar vektorer i ett vektorrum med skalärer från ett kroppsfält. Om vektorerna v1, v2, ..., vk ∈ V och skalärerna a1, a2, ..., ak ∈ F så är a1 v1 + a2 v2 + ... + ak vk en linjärkombination av v1, ..., vk. En vektor w i V sägs vara en linjärkombination av dessa vektorer om det finns sådana skalärer ai som w = a1 v1 + a2 v2 + ... + ak vk.

Spänningen eller spannet av vektorerna, betecknat Span{v1, ..., vk}, är mängden av alla linjärkombinationer av dessa vektorer. Spanet är ett underrum till V, eftersom varje linjärkombination av vektorerna tillhör V och mängden är sluten under addition och skalär multiplikation.

Vektorerna är linjärt oberoende om den enda linjärkombinationen som ger nollvektorn är där alla coefficients ai är lika med noll. Om det finns en icke-trivial lösning (inte alla ai=noll), är vektorerna linjärt beroende. Basar och dimension är centrala begrepp: en bas är en uppsättning linjärt oberoende vektorer som spanar upp hela det aktuella utrymmet, och antalet basvektorer kallas dimensionen.

För att avgöra om en vektor w är en linjärkombination av v1, ..., vk kan man lösa systemet [v1 ... vk] a = w, där kolonnmatrisen består av vektorerna som kolonner. Om det finns en lösning tillåts w tillhöra Span{v1, ..., vk}; annars gör den inte det. Linjärkombinationer används i problemlösning, koordinatsystem, basisomvandling och studiet av underrum.