basisomvandling

Basisomvandling, eller förändring av bas, är inom linjär algebra processen att uttrycka koordinater för en vektor i en annan bas av samma funktionsrum. Om B = (b1, …, bn) och C = (c1, …, cn) är två baser för V, finns en change-of-basis-matris P som uppfyller relationen [v]_C = P [v]_B. Kolonnerna i P är koordinaterna av b1, …, bn uttryckta i basen C. Den omvända transformationen ges av [v]_B = P^{-1} [v]_C.

I praktiken kopplas P ofta till en standardrepresentation genom en kolonnmatris S som har basvektorerna i standardkoordinater som kolumner: S = [b1 … bn]. Då erhålls för standardkoordinaterna [v]_std = S [v]_B och [v]_B = S^{-1} [v]_std. Alltså beskriver basisomvandlingen hur koordinaterna av en vektor ändras när basen ändras; både B och C måste vara linjärt oberoende för att matrisen ska vara invertibel.

Ett enkelt exempel i R^2: Låt B = {(1,0), (1,1)} och C vara standardbasen. Då är P kolonnerna b1 och b2 uttryckta i C, så P = [[1,1],[0,1]]. För en vektor v med B-koordinaterna [v]_B kan vi få standardkoordinaterna via [v]_std = S [v]_B, där S = [[1,1],[0,1]].

Användningar av basisomvandling finns inom datorgrafik, robotik, fysik och numerisk linjär algebra, där olika representationer av data och objekten behöver bytas beroende på sammanhanget. Se även: förändring av bas, linjär transformation, egenvärden.