Linearisaatio

Linearisaatio tarkoittaa ei-lineaarisen järjestelmän paikallista lineaarista kuvausta. Sitä käytetään usein dynamiikan ja systeemien analysoinnissa tilanteissa, joissa tila on lähellä tiettyä pistettä, esimerkiksi tasapainopistettä.

Matemaattisesti lineaarisaatio voidaan toteuttaa usein Taylorin laajennoksen ensimmäisen kertaluvun termillä. Oletetaan, että järjestelmä on määritelty x' = f(x), missä x on n‑ulotteinen tila. Jos x* on tasapaino tai operointipiste ja f(x*) = 0, lineaarinen malli saadaan asettamalla ξ = x − x*. Syntyy ξ' = A ξ, jossa A on Jacobian-matriisi Jf(x*) = ∂f/∂x|_{x*}. Tämä antaa paikallisen lineaarisen lähteen tangenttia kohti ja on yleistä myös differenssijärjestelmille, missä kyseessä on x_{k+1} ≈ x* + Jf(x*)(x_k − x*).

Lineaarisaatio on hyödyllinen etenkin vakauttamisen ja lähestyvän käyttäytymisen analysoinnissa. Vakaus voidaan pelkistää Jacobianin eigenarvoihin: jatkuvassa ajassa kaikki vakaat seitsemän kokonaisarvot ovat negatiivisia (hyperbolinen piste) tarkoittaa paikallista vakautta; diskreetissä ajassa moduulin on pienennetty 1. Rajoitteina lineaarisaatio on paikallinen: se kuvaa vain pienen poikkeaman dynamiikkaa eikä tarjota luotettavaa kuvaa suuremmista liikkeistä tai ei-hyperbolisia kohtia vaativia lisäanalyysejä, kuten keskiverroittelua.

Linearisaatioa hyödynnetään muun muassa dynamiikan ja ohjausteorian analyysissä sekä järjestelmämallien yksinkertaistamisessa ennen luotettavien hallinta- ja suunnittelumenetelmien soveltamista.