eigenarvoihin

Eigenarvo on skalaari λ, jolle on olemassa ei-nollavektori v sellaisessa Av = λv. Tätä v:ta kutsutaan eigenvektoriksi λ:n kanssa. Eigenarvot ovat erityisiä skalaareja, jotka kertovat, miten matriisi A muuttaa sopivan suunnan pituuden mukaan.

Eigenarvojen löytämiseksi ratkaistaan karakteristinen polynomi det(A - λI) = 0. Sen juuret (mahdollisesti monikertaisina) ovat matriisin eigenarvot. Kukin eigenarvo λ vastaa erilaisten vektoreiden tilaa eli eigenspacea, jonka dimensio on geometrinen kertoluku. Yleensä algebraic multiplicity antaa, kuinka monta kertaa λ esiintyy polynomissa, ja geometrinen kertoluku kertoo, miten monta lineaarisesti riippumatonta eigenvektoria on vastaavalle λ:lle.

Ominaistoja: Real-matriiseille eigenarvot voivat olla kompleksisia, jos matriisi ei ole reaalinen symmetrinen. Reaali symmetrinen matriisi taas omaa pelkkiä realisia eigenarvoja ja eigenvektorit voidaan valita ortogonaalisiksi, jolloin A on diagonoalisoitu: A = PDP^{-1} tai P^{-1}AP = D, missä D on diagonaalista λ-arvoja.

Laskenta ja sovellukset: Pienille matriiseille voidaan ratkaista polynomi suoraan tai numeerisesti käyttämällä ohjelmallisia menetelmiä. Yleisiä numeerisia menetelmiä ovat voimalasieru, QR-algoritmi sekä Jacobi-menettely. Eigenarvoja ja niiden ominaisuuksia sovelletaan muun muassa värähtelyjen ja dynaamisten järjestelmien analyysiin, Markov-ketjuihin sekä pääkomponenttianalyysiin (PCA), jossa suurimmat eigenarvot kertovat eniten vaihtelua.