Eigenarvoja

Egenarvoja on termi, jota käytetään usein kuvaamaan skalaaria λ, joka tyypillisesti liittyy n by n -matriisiin A siten, että on olemassa ei-nollavektori v, jolla Av = λv. Tällä v:llä kutsutaan yleensä vektoria, jonka suuruus ei ole nolla, ja λ:aa kutsutaan eigenarvoksi ja v:ta eigenvektoriksi. Toisin sanoen λ on sellainen luku, että vektori ei muutu leikkaamalla transformaatiota A sen kertoimella λ.

Ominaisarvot voidaan löytää ratkaisemalla ominaisarvon karakteristinen polynomi p(λ) = det(A − λI) = 0. Tämä polynomi on asteesta n ja sen n juurta voivat olla todellisia tai kompleksisia. Jos matriisi A on reaalinen, kompleksiset ominaisarvot tulevat pareja (a ± bi). Ominaisarvojen kertoluvut ja niihin liittyvien eigenvektoreiden lukumäärät pohtivat matriisin diagonaalisoitumista: geometrinen kertoluku (mitä eigenvektoreita on) vaikuttaa siihen, kuinka monta riippumatonta eigenvektoria matriisi sisältää ja milloin A on diagonoituva.

Jos matriisi A on symmetrinen reaalinen, sen ominaisarvot ovat aina realisia ja siihen liittyvät eigenvektorit voivat muodostaa ortonormoidun kantavektoriston. Toisaalta yksinkertaiset (erilliset) ominaisarvot mahdollistavat diagonaalisen muodon ja yksinkertaisen spektraalisen kertomisen.

Esimerkki: matriisi A = [[4, 1], [2, 3]] saa ominaisarvot ratkaisemalla det(A − λI) = (4−λ)(3−λ) − 2 = λ^2 − 7λ + 10 = 0, jonka juuret ovat λ = 5 ja λ = 2.

Sovellukset kattavat vakausanalyysin, differentiaaliyhtälöt, PCA:n kaltaiset tilastografiikkaan sekä monia digitointiin ja grafiikkaan liittyviä menetelmiä. Tutkimuksessa ominaisarvot paljastavat järjestyksen ja energiaa kannattavat suunnat.