Lineaarisuutta

Lineaarisuus on matemaattinen ominaisuus, joka kuvaa sitä, miten jokin toiminto säilyttää lineaariset yhdistelmät. Formalisesti funktio f määriteltynä vektoriavaruuksista V ja W on lineaarinen, jos jokaisille v, w ∈ V ja kaikille skaalauksille α, β pätee f(α v + β w) = α f(v) + β f(w). Tämän vuoksi lineaariset operaattorit säilyttävät sekä lisäyksen että skalaarimultiplaation.

Yhden muuttujan tapauksessa lineaarinen funktio on muotoa f(x) = m x, eli se kulkee origon kautta. Jos funktio on f(x) = m x + b, kyseessä on affiini funktio, ei lineaarinen ellei b ole nolla. Erottelu on yleisesti tärkeä, sillä lineaarisuus vaatii vakiotermin nollasemmasta alkuarvosta.

Esimerkkejä lineaarisista funktioista ovat f(x) = 3x sekä f(v) = Av lineaarinen haara, jossa A on vektoriavaruuksien välinen lineaarinen transformaattori. Epälineaarisia esimerkkejä ovat f(x) = x^2, f(x) = sin(x) tai f(v + w) ≠ f(v) + f(w).

Lineaarisuus on keskeinen käsite lineaarialgebrassa ja sen sovelluksissa. Lineaariset transformaatio ja matriisi-edustukset mahdollistavat ongelmien ratkaisemisen superposition-principin avulla, sekä tuntemattomien ominaisuuksien kuten eigenarvojen ja basisien selvittämisen. Silloin järjestelmät, grafiikat ja mallinnukset voivat olla suoraviivaisempia ja laskennallisesti hallittavampia. Lineaarisuutta käytetään laajasti myös tilastossa, fysiikassa ja tietojenkäsittelyssä, esimerkiksi lineaarisessa regressiossa ja lineaarisissa operaatioissa.