Likhetsvillkor

Likhetsvillkor är en typ av begränsningar i matematiska modeller och optimeringsproblem där vissa krav måste uppfyllas exakt. De anger relationer mellan variabler som måste hållas lika med ett givet värde, ofta noll. Likhetsvillkor används för att beskriva starka, koniska eller definierande relationer i modellen och påverkar vilka lösningar som är tillåtna.

Matematiskt uttrycks ett likhetsvillkor vanligtvis som h_i(x) = 0 för i = 1, ..., m, där x är vektorn av decision variabler och h_i är funktioner som kan vara differensierbara. Tillsammans med likhetsvillkoren bildar de en uppsättning av constraints som begränsar lösningsutrymmet. Detta skiljer sig från ojämlikhetsvillkor, som anger gränser av typen g_i(x) ≤ 0 eller g_i(x) ≥ 0 och därmed tillåter vissa avstånd från en gräns.

Lösningstekniker för problem med likhetsvillkor inkluderar Lagrange-multiplikatorer, där man bildar Lagrangianen L(x, λ) = f(x) + λ^T h(x) och söker stationaritet ∇_x L = 0 tillsammans med h(x) = 0. Vid problem utan ojämlikheter används endast likhetsvillkoren. Mer avancerade metoder innefattar straffmetoder och augmented Lagrangian-metoder som integrerar likhetsvillkoren i optimeringsprocessen.

Användningar återfinns inom ekonomi, teknik och teknikvetenskap där exakt uppfyllda krav krävs, exempelvis vid resursfördelning, balans- och samordningsproblem samt i linjär och nonlinear programmering där Ax = b ofta utgör ett vanligt likhetsvillkor.