Lagrangemultiplikatorene

Lagrangemultiplikatorene er en matematisk metode inden for optimeringsteori, der anvendes til at finde ekstremværdier af en funktion under visse restriktioner. Metoden er opkaldt efter den italienske matematiker Joseph-Louis Lagrange, der introducerede den i det 18. århundrede. Den er særligt nyttig i situationer, hvor man ønsker at optimere en funktion, men hvor de mulige værdier af variablerne er begrænset af en eller flere ligninger eller uligheder.

Grundlæggende indebærer metoden at transformere et restriktioneret optimiseringsproblem til et urestriktioneret problem ved hjælp af såkaldte Lagrangemultiplikatorer. Hvis man ønsker at optimere en funktion *f(x₁, x₂, ..., xₙ)* under en restriktion *g(x₁, x₂, ..., xₙ) = 0*, konstrueres der en ny funktion, kaldet Lagrangefunktionen, som inkluderer en multiplikator λ. Denne funktion ser ud som *L(x₁, x₂, ..., xₙ, λ) = f(x₁, x₂, ..., xₙ) - λ·g(x₁, x₂, ..., xₙ)*.

For at finde ekstremværdierne løses systemet af partielle afledte af Lagrangefunktionen med hensyn til alle variabler, inklusive λ. Dette giver et system af ligninger, der kan løses for at finde de kritiske punkter. Metoden kan også generaliseres til flere restriktioner ved at tilføje flere multiplikatorer.

Lagrangemultiplikatorene har en geometrisk fortolkning: de repræsenterer den marginale ændring i den optimale værdi af *f*, når restriktionerne ændres lidt. Metoden finder anvendelse inden for mange videnskabelige og ingeniørfaglige områder, herunder økonomi, fysik og maskinlæring, hvor restriktioneret optimering er en central opgave.