Lagrangeligningen

Lagrangeligningen, også kjent som Lagranges ligninger, er en grunnleggende del av klassisk mekanikk og brukes til å beskrive bevegelsen til partikler eller systemer under påvirkning av konservative krefter. De ble utviklet av den italienske matematikeren og astronomen Joseph-Louis Lagrange på 1700-tallet og utgjør et sentralt verktøy innen analytisk mekanikk.

Lagranges ligninger er en setning av bevegelseslikninger som uttrykkes i termer av generaliserte koordinater og generaliserte krefter. I motsetning til Newtons bevegelseslover, som opererer med posisjoner, hastigheter og krefter i kartesiske koordinater, bruker Lagranges ligninger en mer generell tilnærming. Dette gjør dem spesielt nyttige for komplekse systemer med flere frihetsgrader, slik som mekaniske systemer med bevegelige ledd eller systemer med restriksjoner.

Den generelle formen av Lagranges ligninger av andre orden er gitt ved:

d/dt(∂L/∂q̇ᵢ) - ∂L/∂qᵢ = Qᵢ,

hvor L er Lagranges funksjon (eller lagrangianen), qᵢ er generaliserte koordinater, q̇ᵢ er deres tiderivater, og Qᵢ er generaliserte krefter. Lagranges funksjon er definert som differansen mellom kinetisk og potensiell energi: L = T - V.

Lagranges ligninger er nyttige fordi de kan redusere kompleksiteten i beregningene ved å eliminere restriksjoner direkte i formelen, og de kan håndtere systemer med ikke-holonomiske restriksjoner. De er også grunnleggende for å forstå prinsippet om minimal aksjon, som er et sentralt konsept innen teoretisk fysikk.

Denne metoden har bred anvendelse innen fysikk, ingeniørvitenskap og astronomi, og den er grunnleggende for videreutvikling av mekanikk som for eksempel Hamilton-mekanikken.