Kædetopologi

Kædetopologi, også kaldet ordnet topologi, er topologien der naturligt følger af en totalt ordnet mængde (en kæde) X med ordenen <. En basis for topologien dannes af alle åbne intervaller (a, b) med a < b i X; hvis X har en mindste element, tilføjes også intervaller af typen [min X, b), og hvis X har et største element, tilføjes (a, max X]. Den dermed definerede topologi kaldes ordenstopologi eller kædetopologi.

En følge x_n i X konvergerer til x, hvis for hver basis-open M omkring x er der et N således, at for alle n ≥ N ligger x_n i M. Dette giver en måde at forstå grænser og konvergens i den ordnede struktur, og topologien kaldes ofte for en lineært ordnet topologisk rum (LOTS).

Egenskaber og eksempler: Kædetopologien gør X til et T1- og Hausdorff-rum. Den er den naturlige topologi at bruge på en kæde, og på særlige kæder giver den kendte resultater. For eksempel er de reelle tal ℝ med den ordnede topologi identisk med den sædvanlige metriske topologi på ℝ, mens ℤ med samme topologi er diskret, da hvert tal er isoleret af et åbent intervall (n-1, n+1) der kun indeholder n.

Relationer: Kædetopologi er en af de mest grundlæggende topologier på totalt ordnede rum og spiller en central rolle i studiet af konvergens og kompakthed i poset-relaterede sammenhænge. Den giver en naturlig ramme for tænkning om intervaller, grænser og topologiske egenskaber der følger af ordenen.

Se også: ordenstopologi, lineært ordnede topologiske rum (LOTS), ordene interveraler i topologi.