Kvadratrötter

Kvadratrötter, eller kvadratrötter av ett tal, är de tal som upphöjda till två ger ett givet värde. Den positiva kvadratroten av a betecknas vanligtvis som sqrt(a) eller a^(1/2). För reella tal definieras kvadratroten endast för a ≥ 0; för negativa tal finns ingen reell kvadratroten och man uppnår istället en komplex kvadratroten där √(-a) = i√a.

I reala talens domän är kvadratroten alltid icke-negativ. Viktiga egenskaper är att sqrt(xy) = sqrt(x) sqrt(y) när x och y är icke-negativa, och att sqrt(x^2) = |x|. Om a ≥ 0 och b ≥ 0 så gäller sqrt(ab) = sqrt(a) sqrt(b). Kvadratrötter är även kopplade till talet av seriell form: √a ger ofta irrationella värden om a inte är en perfekt kvadrat, som exempelvis √2.

Beräkning av kvadratrötter sker genom olika metoder. För perfekta kvadrater är resultatet enkelt (t.ex. √9 = 3). För generella tal används numeriska metoder som Newton-Raphson eller Babyloniska metoden för att närma sig rätt värde. Vid algebraisk behandling kan man använda faktorering: om a = ∏ p_i^{e_i} så är √a = ∏ p_i^{e_i/2}, vilket tydliggör varför vissa kvadratrötter är irrationella.

Historiskt har begreppet kvadratrötter använts sedan antiken i olika kulturer för mätningar och geometri. Kvadratrötter är grundläggande inom matematik, naturvetenskap och teknik, där de ofta uppträder i samband med areor, längder och lösningar av kvadratiska ekvationer.