Kurvenzentrum

Kurvenzentrum, auch als Zentrum der Krümmung bezeichnet, ist der Mittelpunkt des oskulierenden Kreises einer Kurve an einem gegebenen Punkt. Er gibt an, wie stark die Kurve in diesem Punkt gekrümmt ist, und seine Entfernung von der Kurve misst die Krümmung. Die Krümmung κ ist der Kehrwert des Radius der Krümmung, dem sogenannten Krümmungsradius R: R = 1/κ.

In der Ebene gilt für eine glatte Kurve γ(t) = (x(t), y(t)) mit ungleich null Krümmung die Krümmung κ(t) = |x' y'' − y' x''| / (x'^2 + y'^2)^(3/2). Der Einheits-Normalvektor N wird durch eine Orientierung des Tangentenvektors T = γ'/|γ'| bestimmt, zum Beispiel N = (−y', x') / √(x'^2 + y'^2). Der Mittelpunkt des oskulierenden Kreises liegt dann bei C = γ(t) + (1/κ(t)) N. Der Mittelpunkt liegt auf der Normalrichtung des Kurvenortes und beschreibt die lokale Biegung.

Im Raum verallgemeinert sich das Konzept auf die Oszillationsebene der Frenet-Serret-Frame. Dort liegt der Zentrum der Krümmung im Oszillationskreis in der Ebene, die durch T und N aufgespannt wird; die Krümmung κ bestimmt die Größe dieses Kreises und seine Richtung geht über N.

Anwendungen finden sich in Geometrie, Physik, Robotik und computergestützter Grafik, wo Krümmung und Oszillationskreis zentrale Rollen spielen. Beispiele sind Kreise mit konstanter Krümmung, deren Kurvenzentrum der Mittelpunkt des Kreises ist.