Kryssprodukt

Kryssprodukt, eller vektorprodukten, är en binär operation på två vektorer i tre dimensioner som ger en ny vektor som är vinkelrät mot både a och b.

Om a = (a1, a2, a3) och b = (b1, b2, b3) så är kryssprodukten definierad som: a × b = (a2 b3 − a3 b2, a3 b1 − a1 b3, a1 b2 − a2 b1).

Storleken av a × b är |a × b| = |a||b| sin θ där θ är vinkeln mellan a och b. Riktningen på a × b bestäms av högerhandsregeln: om pekfingret pekar i riktning av a och långfingret i riktning av b, pekar tummen i riktning av a × b.

Egenskaper: Kryssprodukten är bilineär och antikommutativ: a × b = −(b × a). När a och b är parallella är a × b nollvektorn. Den är distributiv över vektoraddition: a × (b + c) = a × b + a × c. Den är dock inte associativ: (a × b) × c ≠ a × (b × c).

Geometriskt motsvarar |a × b| arean av parallelogrammet som bildas av a och b.

Den skalära trippelprodukten a · (b × c) ger volymen av parallelepipeden som spänns upp av a, b och c, och är invariant under cykliska permutationer.

Användningar inkluderar beräkning av normalvektorer i grafik, beräkningar av vinkelmoment och moment i fysik, samt beräkningar av kraftmoment och rotation.

Noterbart är att i två dimensioner finns ingen allmän kryssprodukt som en vektor i samma rum; istället används z-komponenten av den tre-dimensionella produkten. För vidare matematiska generaliseringar används exterior algebra och bivektorer.