Kovarianssimatriisia

Kovarianssimatriisi on neliömäinen matriisi, joka kuvaa usean satunnaismuuttujan välistä kovarianssia. Matriisin alkiot kertovat, kuinka kaksi satunnaismuuttujaa keskimäärin vaihtelevat yhdessä. Matriisin diagonaalilla olevat alkiot edustavat satunnaismuuttujien variansseja. Matriisin epädiagonaaliset alkiot edustavat eri satunnaismuuttujien välistä kovarianssia. Kovarianssimatriisi on aina symmetrinen, ja sen alkiot ovat ei-negatiivisia.

Kovarianssimatriisin käyttö on yleistä tilastotieteessä ja koneoppimisessa. Sitä käytetään esimerkiksi pääkomponenttianalyysissä (PCA) datan ulottuvuuden vähentämiseen. PCA pyrkii löytämään datan suurimman vaihtelun suunnat, ja kovarianssimatriisi on tässä keskeisessä roolissa, sillä sen ominaisarvot ja ominaisvektorit kertovat nämä suunnat ja niihin liittyvän vaihtelun määrän.

Lisäksi kovarianssimatriisia käytetään moniulotteisten normaalijakaumien määrittämisessä. Kun tiedetään satunnaismuuttujien keskiarvot ja niiden kovarianssimatriisi, koko jakauma voidaan täysin karakterisoida. Monissa tilanteissa, joissa käsitellään useita samanaikaisesti muuttuvia suureita, kovarianssimatriisin ymmärtäminen ja laskeminen on välttämätöntä. Esimerkiksi taloudessa se voi kuvata osakkeiden hintojen välistä riippuvuutta.