satunnaismuuttujaa

Satunnaismuuttuja on matemaattinen malli satunnaiselle ilmiölle. Se on funktio X, joka kuvaa havaittua arvoa satunnaisessa kokeessa. Tarkemmin ottaen X määritellään todennäköisyystilanteesta (Ω, F, P) järjestelmässä, ja X: Ω → R on mittausfunktio: jokaiselle ω ∈ Ω arvo on X(ω). Satunnaismuuttujan jakauma kuvaa todennäköisyyksiä sen arvoille.

Satunnaismuuttujia voidaan luokitella kahteen päätyyppiin: diskreetteihin ja jatkuviin. Diskreetti X ottaa lueteltavissa olevia arvoja, kuten X ∈ {0,1,2,...}. Jakauman kuvaa todennäköisyysmassafunktio p(k) = P(X=k) sekä kertymäfunktio F_X(x) = P(X ≤ x). Jatkuva X voi saada mitä tahansa reaaliarvoja tietyllä välillä, ja sille määritellään tiheysfunktio f(x), josta P(a<X≤b) = ∫_a^b f(x) dx ja F_X(x) = ∫_{-∞}^x f(t) dt.

Ominaisuudet: Odotusarvo ja varianssi kuvaavat X:n keskipistettä ja hajaumaa. Diskreetillä X: E[X] = Σ_x x P(X=x); jatkuvalla X: E[X] = ∫_{-∞}^{∞} x f(x) dx. Mikäli E|X| < ∞, odotusarvo on määritelty. Varianssi Var[X] = E[(X−E[X])^2], ja standardipoikkeama on sqrt(Var[X]).

Esimerkkejä: Kolikonheitossa X voidaan määritellä 1 kruunalle ja 0 muille (P(X=1)=1/2). Nopanheitossa X ∈ {1,...,6} ja P(X=k)=1/6. Jatkuva esimerkki: X voi olla normaalisti jakautunut N(μ, σ^2). Satunnaismuuttujia käytetään yleisesti tilastollisissa malleissa ja ne voivat muodostaa monimutkaisempia jakaumia yhteisjakaumissa.