Satunnaismuuttujan

Satunnaismuuttuja on matemaattinen malli säännönmukaisen ilmiön numeeriselle kuvaukselle. Olkoon (Ω, F, P) todennäköisyysavaruus. Satunnaismuuttuja X on mitattava funktio Ω → ℝ, jonka arvo on satunnainen. Jakauma määrittelee, millä todennäköisyyksillä X saa eri arvot.

Satunnaismuuttuja voi olla diskreetti tai jatkuva. Diskreetti X saa erisuuruisia, erillisiä arvoja ja sen jakauma kuvataan todennäköisyysmassafunktiolla p_X(k) = P(X = k). Jatkuva X saa arvoja kokonaisella jaksolla, ja sen jakauma kuvataan tiheysfunktiolla f_X(x) sekä kertymäfunktiolla F_X(x) = P(X ≤ x), jossa F_X(x) = ∫_{-∞}^x f_X(t) dt.

Odotusarvo ja varianssi ovat satunnaismuuttujan keskeisiä tunnuslukuja. Diskreetin X:n odotusarvo on E[X] = ∑ x p_X(x); jatkuvan X:n tapauksessa E[X] = ∫ x f_X(x) dx. Varianssi Var(X) = E[(X − E[X])^2]. Lineaarisuus mahdollistaa E[aX + b] = aE[X] + b. Yhteistietoja varten voidaan tarkastella yhteisjakaumaa, riippumattomuutta ja moniaulottuvuuksien satunnaismuuttujia.

Käytännössä satunnaismuuttujia käytetään tilastollisessa mallintamisessa, simuloinnissa ja päätöksenteossa. Tunnettuja jakaumia ovat esimerkiksi Bernoulli, Binomial, Poisson, Normal, Uniform ja Exponential. Satunnaismuuttujia voidaan muokata lineaarisesti tai ottamalla funktioita X → g(X), mikä johtaa uusien muuttujien jakaumoihin. Satunnaismuuttujien käsittely on keskeistä sekä teorian että sovellusten kannalta.