Kovarianserna

Kovarianserna är mått som beskriver hur två stokastiska variabler varierar tillsammans. Cov(X,Y) anger i vilken riktning och hur starkt deras avvikelser från medelvärdena sammanfaller. Positiv kovarians innebär att högre än genomsnittliga värden hos X ofta följs av högre än genomsnittliga värden hos Y, medan negativ kovarians antyder motsatt inverkan. Om variablerna varierar helt oberoende är kovariansen vanligen noll.

Formler och mått: För en population är Cov(X,Y) definierad som E[(X − μ_X)(Y − μ_Y)]. Variansen är Cov(X,X). För ett urval används s_xy = 1/(n−1) Σ (x_i − x̄)(y_i − ȳ). Kovariansen är symmetrisk: Cov(X,Y) = Cov(Y,X). Om X och Y är oberoende är Cov(X,Y) vanligtvis noll, men noll kovarians betyder inte alltid oberoende i allmänhet.

Relation till varians och linjära kombinationer: Var(aX + bY) = a^2 Var(X) + b^2 Var(Y) + 2ab Cov(X,Y). Denna egenskap ligger till grund för riskberäkningar och regressionsanalys. Den samlade informationen om flera variabler fås i kovariansmatrisen Σ, där Σ_ij = Cov(X_i, X_j). Den är symmetrisk och positivt semidefinit och används i multivariat analys, t.ex. principalkomponentanalys och finansens riskvärdering.

Relation till korrelation: Corr(X,Y) = Cov(X,Y) / (σ_X σ_Y), där σ_X och σ_Y är respektive standardavvikelser. Kovarianserna har enheter som är produkten av enheterna för X och Y, medan korrelationen är enhetsfri och ligger mellan −1 och 1.

Tillämpningar: Kovarianser är centrala i statistiska modeller, portförräkningar, ekonometriska analyser och bild- eller signalbehandling där man vill beskriva beroenden mellan variabler.