Konvoluutiooperaatio

Konvoluutio-operaatio on matemaattinen operaatio, joka yhdistää kaksi funktiota ja tuottaa kolmannen funktion, joka ilmaisee, kuinka yhden funktion muoto muokataan toisen funktion muodon avulla. Sitä käytetään laajasti signaalinkäsittelyssä, kuvankäsittelyssä ja todennäköisyyslaskennassa.

Kuvitteellisesti konvoluutio voidaan ajatella kahden funktion "liukumisena" toistensa yli. Yksi funktio, usein kutsuttu ytimeksi tai suodattimeksi, "liukuu" toisen funktion yli ja jokaisessa kohdassa lasketaan niiden kahden funktion arvojen tulo-integraali tai -summa. Tuloksena syntyvä arvo on uuden, konvoluutiofunktion, arvo kyseisessä pisteessä.

Signaalinkäsittelyssä konvoluutiota käytetään tyypillisesti suodattimien soveltamiseen signaaleihin. Esimerkiksi äänisignaalin kohinan poistamiseen tai kuvasignaalin sumeuden vähentämiseen voidaan käyttää konvoluutio-operaatiota. Kuvankäsittelyssä konvoluutio on keskeinen osa monia algoritmeja, kuten reunojen tunnistusta ja sumennusta.

Matemaattisesti konvoluutio kahdelle jatkuvalle funktiolle f ja g merkitään usein symbolilla * ja määritellään integraalina:

(f * g)(t) = ∫ f(τ) g(t - τ) dτ

Missä integrointi tapahtuu yli kaikkien mahdollisten arvojen τ. Diskreettisessä tapauksessa integraali korvataan summalla.

Konvoluution ominaisuuksiin kuuluvat muun muassa kommutatiivisuus (f * g = g * f) ja assosiatiivisuus (f * (g * h) = (f * g) * h). Se on perustavanlaatuinen työkalu monilla tieteen ja tekniikan aloilla.