konvoluutio

Konvoluutio on matemaattinen operaatio, jossa kaksi funktiota yhdistetään uudeksi funktioksi. Yleisesti continuous-aikainen konvoluutio määritellään (f * g)(t) = ∫_{-∞}^{∞} f(τ) g(t − τ) dτ. Diskreetti konvoluutio on (f * g)[n] = ∑_{k=-∞}^{∞} f[k] g[n − k], ja käytännössä summat rajoitetaan signaalin pituuteen. Konvoluutiota käytetään usein kuvaamaan järjestelmän tai prosessin vaikutusta syötteeseen, jossa g voi toimia vastefunktiona, kuten impulssivasteena.

Ominaisuudet: konvoluutio on commutatiivinen ja assosiatiivinen, eli f * g = g * f ja (f * g) * h = f * (g * h). Se on lineaarinen operaatio, ja sen tulosta voidaan tulkita syötteen vaikutuksena järjestelmän vasteen kautta: jos järjestelmän impulssivaste on h, ulostulo on y = x * h. Kun käytetään sähkö- tai fysikaalista järjestelmää, konvoluutio kuvaa, miten syöte siirretään ja laajennetaan vasteen kautta.

Keskeinen teoreema on konvoluution teoreema: Fourier-muunnoksessa konvoluutio vastaa kertolaskua. F{f * g} = F{f} · F{g}. Vastaavasti F^{-1}{F{f} · F{g}} = f * g. Tämä pätee sekä jatkuville että diskreeteille muunnoksille (DFT). Käytännössä konvoluutio voidaan suorittaa nopeasti FFT:n avulla, jolloin laskennallinen monimutkaisuus on O(n log n).

Sovellukset: konvoluutiota käytetään laajalti signaali- ja kuvankäsittelyssä suodattamiseen, reunojen korostamiseen, sumennusten poistoon ja yleiseen tasoitukseen. 2D-konvoluutio soveltuu kuvien ja videoiden käsittelyyn, 1D konvoluutio äänisignaaleihin. Muita käyttöalueita ovat fysikaaliset mallit, tilastotiede sekä koneoppiminen (konvoluutioverkkokerrokset). The konvoluutio on keskeinen työkalu sekä teoreettisessa että soveltavassa signaalin käsittelyssä.