Konvergenztests

Konvergenztests bezeichnet in der Mathematik und numerischen Analyse eine Gruppe von Kriterien, mit deren Hilfe entschieden wird, ob eine unendliche Folge, eine unendliche Reihe oder ein Iterationsverfahren gegen einen Grenzwert konvergiert. Die Tests unterscheiden sich je nach Objekt (Folge, Reihe oder Iteration) und nach der Art des Grenzwerts. Sie dienen sowohl theoretischer Beurteilung als auch praktischer Fehlerabschätzung in Berechnungen.

Bei Reihen werden häufig Divergenztests und Vergleichskriterien eingesetzt. Der Divergenztest prüft, ob der Term a_n gegen Null geht; bleibt er ungleich Null, divergiert die Reihe. Weitere Kriterien sind der direkte und der Limitvergleichtest (Direkter Vergleich, Limitvergleich), das Majoranten-Minoranten-Verfahren sowie das Wurzel- und das Quotientenkriterium. Für alternierende Reihen ist das Leibnizkriterium üblich, und das Integraltest nutzt die Zuordnung zu einem entsprechenden unendlichen Integral.

Für Folgen (Sequenzen) gelten Kriterien wie Monotonie und Beschränktheit: Eine monotone und nach oben bzw. unten beschränkte Folge konvergiert. Das Cauchy-Kriterium besagt, dass eine Folge konvergiert, genau dann, wenn sie Cauchy ist. In Vektor- oder Funktionsräumen wird oft die Konvergenz in einer Norm geprüft.

In der numerischen Analysis sichern Konvergenzbedingungen von Iterationsverfahren die Annäherung an einen Grenzwert: Der Banachschen Kontraktionssatz garantiert Konvergenz eines Iterationsplans x_{k+1}=g(x_k) bei Lipschitz-Konstante L < 1. Lokale Konvergenzraten können durch Ableitungen bestimmt werden; beispielsweise besitzt das Newton-Verfahren unter geeigneten Voraussetzungen eine quadratische Konvergenz.

Hinweis: Konvergenztests liefern hinreichende Kriterien; das Scheitern eines Tests beweist nicht notwendigerweise Divergenz. In der Praxis werden mehrere Tests zusammen verwendet, um Konvergenz sicher abzuschätzen.

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