Kontinuitáselmélet

Kontinuitáselmélet, vagyis continuity theory, a matematika egyik alapvető területe, amely a folytonosság fogalmának és vele összefüggő tulajdonságoknak a vizsgálatával foglalkozik. A folytonosság a bemeneti és kimeneti értékek közötti kis változások viselkedését írja le, és nélkülözi a hirtelen ugrásokat vagy szakadásokt. A folytonosságot több nézőpontból is definiálhatjuk: analitikusan az ε-δ definíció szerint egy f: R → R esetén minden pontban adott ε-hez létezik δ, hogy ha |x − a| < δ, akkor |f(x) − f(a)| < ε; vagy topológiailag úgy, hogy egy tér X-ből Y-ba megyő f folyamatos, ha az f^{-1}(nyit) nyit. A kontinuitás másik fontos jellemzője a kölcsönhatás a határértékekkel és a konvergenciával, amely gyakran netekkel vagy szűrőkkel fejeződik ki.

Az elmélet lényegi fogalmai közé tartozik a folyamatos funkciók közötti tulajdonságok vizsgálata, beleértve a rögzített Pontosság, illetve az egységes folytonosság (uniform continuity). Az egységterjedést adó ω_f(δ) a modulus of continuity, amely megadja, milyen mértékben korlátozódik a függvény a bemenetek közötti különbségek alapján. A Lipschiz-féle folytonosság erősebb feltétel, amely lineáris arányosságot ír elő.

Fontos következtetések közé tartozik, hogy a kompakt halmazon lévő folyamatos függvények vmennyire uniformisan folytonosak (Heine–Cantor tétel), valamint hogy a folytonosság jól viselkedik a függvénykompozíciók és a határértékek-konvergencia mellett. A kontinuitáselméletet a valós analízis és a topológia szoros kapcsolatban vizsgálja, és széles körben alkalmazzák differenciálszámításban, differenciálegyenletekben, numerikus elemzésekben és a matematikai modellálásban.