Kontinuaalsus

Kontinuaalsus on matemaatiline mõiste, mis kirjeldab funktsiooni või jada käitumist ilma katkestuste, hüpete või katkemisteta. Intuitiivselt tähendab pidev funktsioon seda, et selle graafikut saab joonistada ilma pliiatsit paberilt tõstmata. Matemaatiliselt defineeritakse funktsiooni continiuiitsus punktis ühel mitmest ekvivalentsest viisist.

Üks levinumaid definitsioone põhineb funktsiooni piirväärtusel. Funktsioon f(x) on pidev punktis c, kui täidetud on kolm tingimust: 1. f(c) on defineeritud, 2. funktsiooni piirväärtus, kui x läheneb c-le, eksisteerib, ja 3. piirväärtus on võrdne funktsiooni väärtusega punktis c, ehk lim x→c f(x) = f(c). Kui üks neist tingimustest ei täitu, öeldakse, et funktsioon on punktis c katkev.

Teine viis pidevuse mõiste kirjeldamiseks on epsilon-delta definitsioon. See väidab, et funktsioon f(x) on pidev punktis c, kui iga positiivse arvu ε (epsilon) korral eksisteerib positiivne arv δ (delta) selliselt, et kui |x - c| < δ, siis |f(x) - f(c)| < ε. See definitsioon tagab, et kui sisendväärtused on piisavalt lähedal c-le, siis väljundväärtused on piisavalt lähedal f(c)-le.

Kontinuaalsus on fundamentaalne mõiste paljudes matemaatika harudes, sealhulgas analüüsis, topoloogias ja diferentsiaalvõrrandites. Pidevad funktsioonid omavad mitmeid olulisi omadusi, näiteks vahepealse väärtuse teoreem ja ekstreemväärtuste teoreem, mis on olulised paljude matemaatiliste probleemide lahendamisel. Katkevused funktsioonides võivad esineda erineval kujul, nagu näiteks nullpunktist tingitud katkevused, hüppekatkevused või asümptoodid.