Konjugaattigradienttimenetelmää

Konjugaattigradienttimenetelmä, tai Conjugate Gradient method (CG), on numeerinen menetelmä, jota käytetään suurten ja harvojen symmetristen positiivisesti definiittien lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisemiseen. Se on iteratiivinen menetelmä, joka tarkoittaa, että se lähestyy ratkaisua sarjan vaiheita. CG-menetelmä tunnetaan tehokkuudestaan ja vakaudestaan erityisesti silloin, kun yhtälöryhmän matriisi on suuri.

Menetelmän perusidea on etsiä ratkaisuun konjugaattisten suuntien joukkoa. Jokaisella iteraatiolla CG-menetelmä minimoi virhevektorin neliöllisen normin tietyssä aliavaruudessa, joka rakennetaan edellisten iteraatioiden avulla. Tämä tehdään minimoimalla kohdefunktiota, joka on neliöllinen muoto, joka liittyy ratkaistavaan yhtälöryhmään. CG-menetelmä takaa konvergenssin rajallisella määrällä iteraatioita, jos matriisi on tarkasti symmetrinen ja positiivisesti definiitti. Käytännössä numeeristen epätarkkuuksien vuoksi iteraatioita tarvitaan usein enemmän kuin teoreettinen yläraja antaisi ymmärtää.

Konjugaattigradienttimenetelmää käytetään laajalti monilla tieteen ja tekniikan aloilla, kuten rajapintaelementtimenetelmässä (FEM), verkon optimoinnissa ja kuvankäsittelyssä. Sen tehokkuus pienentää laskennallista kuormitusta suurten ongelmien ratkaisemisessa tekee siitä arvokkaan työkalun numeerisessa laskennassa.