Kompleksanalüüsi

Kompleksanalüüs on matemaatika haru, mis uurib funktsioone, mille argumentideks ja väärtusteks on kompleksarvud. See on oluline osa enamikust kõrgema matemaatika kursustest ja sellel on laialdased rakendused füüsikas, inseneriteaduses ja muudes teadusvaldkondades.

Peamised mõisted kompleksanalüüsis hõlmavad kompleksarve, kompleksmuutujaga funktsioone, holomorfseid funktsioone, kompleksintegraale ja reaalseid sirgeid. Kompleksarvud on arvud, mis koosnevad reaalsest osast ja imaginaarosast, mida tähistatakse kujul a + bi, kus i on imaginaarne ühik, mille ruut on -1. Kompleksmuutujaga funktsioon on funktsioon, mis võtab kompleksarvu sisendina ja annab kompleksarvu väljundina.

Holomorfne funktsioon on kompleksmuutujaga funktsioon, mis on diferentseeruv igas oma domeeni punktis. Holomorfsetel funktsioonidel on mitmeid olulisi omadusi, sealhulgas analüütilisus ja Cauchy-Riemann võrrandite täitmine. Kompleksintegraalid on integreerimised mööda komplekskõveraid. Neid kasutatakse mitmesuguste probleemide lahendamiseks, sealhulgas funktsioonide väärtuste arvutamiseks ja reaalsuse ümberkujunduste uurimiseks.

Kompleksanalüüs mängib kriitilist rolli erinevate matemaatiliste ja füüsikaliste probleemide lahendamisel. Näiteks kasutatakse seda vooluväljade, soojusülekande ja kvantmehaanika uurimisel. Samuti on see hädavajalik signaalitöötluses, juhtimissüsteemides ja arvutusmatemaatikas.