Kompleksarvud

Kompleksarvud on arvude süsteem, mis laiendab reaalarvude hulka. Iga kompleksarv z on kujul z = a + bi, kus a ja b on reaalarvud ning i on imaginaraarne ühik, mille omadus i^2 = -1. Kui b = 0, on z reaalarv; kui a = 0, on z puhas imaginaararv.

Kompleksarvud saab esitada komplekssel tasandil, kus x-telg on reaalarvud ja y-telg imaginaararvud. Z-i saab kirjeldada ka polaarvormis: z = r(cos theta + i sin theta) või z = r e^{i theta}, kus r = |z| = sqrt(a^2 + b^2) on moduli ja theta = atan2(b, a) on kandja. See võimaldab lihtsustada korrutamist ja suurustõusu.

Operatsioonid: lisamine ja lahutamine toimuvad komponenditi, z + w = (a + c) + (b + d)i; z · w = (ac - bd) + (ad + bc)i. Jagamine toimub z / w = z · conj(w) / |w|^2, kui w ≠ 0, kus conj(w) = a - bi on z-i konjugaat. Kompleksarvudel on ka polaarvormi omadused: z = r e^{i theta} ja z^n = r^n e^{i n theta}.

Olulised omadused: kompleksarvud moodustavad keha (välja) reaalarvude laiendina; igal mitte-null kompleksarvul on pöördväärt ning need võimaldavad lahendada mitmesuguseid võrrandeid. Vähemalt osaliselt on nende tähtsus matemaatikas, füüsikas ja inseneriteadustes ning nad leiavad rakendusi signaalitöötluses ja laiemalt heletustöös.

Näide: z = 3 + 4i on selle modulus |z| = 5 ja kandja theta ≈ 0,927 rad. Konjugaat on z* = 3 − 4i ning z z* = 25.