Kompaktifizierung

Kompaktifizierung bezeichnet in Mathematik und theoretischer Physik den Vorgang, einen nicht kompakten Raum durch Hinzufügen von Punkten oder durch Verkleinerung seiner Dimension so zu verändern, dass er die Eigenschaft der Kompaktheit erlangt. In der Topologie ist das klassische Beispiel die Alexandroff‑ bzw. Einpunkt‑Kompaktifizierung, bei der an einen nicht kompakten Hausdorff‑Raum ein einzelner „Unendlichkeitspunkt“ angefügt wird, wodurch ein kompakter Raum entsteht. Weitere Verfahren umfassen die Abschlüsse in projektiven Räumen und die Bildung von Quotientenräumen, die ebenfalls zu kompakten Strukturen führen können.

In der Algebraischen Geometrie wird Kompaktifizierung genutzt, um quasiprojektive Varietäten in projektive Varietäten zu überführen, etwa durch Hinzufügen einer Divisorenklasse am Rand. Hierbei spielt das Konzept der torischen Kompaktifizierung eine wichtige Rolle, weil sie die Struktur von Varietäten mit torischer Aktion explizit beschreibt.

In der theoretischen Physik, insbesondere in der Stringtheorie, versteht man unter Kompaktifizierung die Reduktion zusätzlicher Raumdimensionen auf kleine, kompakte Mannigfaltigkeiten, etwa Calabi‑Yau‑Räume. Diese Verfahren ermöglichen es, höherdimensionale Modelle mit den beobachtbaren vier Raum‑Zeit‑Dimensionen zu vereinbaren und beeinflussen maßgeblich das Spektrum der Teilchen und die Kopplungskonstanten. Historisch geht die Idee auf Kaluza‑Klein‑Theorien zurück, die bereits im frühen 20. Jahrhundert versuchten, Gravitation und Elektromagnetismus zu vereinigen, indem sie eine zusätzliche, kompakte Kreisdimension einführten.

Kompaktifizierung ist somit ein zentrales Werkzeug, das in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Physik verwendet wird, um nichtkompakte Strukturen in kompakte, besser handhabbare Formen zu überführen.