Kommutera

Kommutera är ett begrepp som beskriver att ordningen mellan två operationer eller två element inte påverkar resultatet. Formellt säger man att en binär operation * på en mängd S är kommutativ om a * b = b * a för alla a och b i S. Man säger att a och b kommuterar när deras ordningsföljd inte ändrar resultatet.

Ett vanligt exempel är talen under addition och multiplikation: addition är kommutativ eftersom 3 + 5 = 5 + 3, och multiplikation är också kommutativ eftersom 3 × 5 = 5 × 3. I många sammanhang gäller dock inte kommutativitet, särskilt i mer komplexa strukturer som matriser eller funktioner.

Ett klassiskt exempel på icke-kommutativitet: låt A och B vara två 2×2-matriser med A = [[0,1],[0,0]] och B = [[0,0],[1,0]]. Då får man AB = [[1,0],[0,0]] och BA = [[0,0],[0,1]], vilka inte är lika. Det visar att två matriser generellt inte commutera.

Kommutatorn används för att mäta hur mycket två element skiljer sig åt när de inte commuterar. För två element A och B skrivs den ofta som [A, B] = AB − BA; kommutatorn är noll när A och B commutera. Inom grupper används även gruppkommutatorn [g, h] = g⁻¹h⁻¹gh, medan i fysik och kvantmekanik används ofta [X, P] = iħ för att beskriva osäkerhetsrelationer.

Sammanfattningsvis beskriver kommutativitet hur ordningen i en operation påverkar resultatet, och begreppet är grundläggande i algebra medan icke-kommutativa strukturer uppträder i till exempel matristeori och kvantmekanik.