Kommutatoriin

Kommutatoriin, or simply kummutaatio/kommutator, on käsite, jolla mitataan kahden alkion, operaattorin tai ominaisuuden epäyhtenäisyyttä suhteessa toisiinsa. Se esiintyy sekä ryhmien että renkaiden ja vektoriavaruuksien kaltaisissa algebrallisissa rakenteissa, ja sitä käytetään laajalti matematiikassa sekä fysiikassa.

Käytännön määritelmät ja notaatio ovat eri rakenteissa erilaisia. Ryhmässä G kommutaatio kahdesta elementistä a ja b määritellään yleensä muodossa [a,b] = a^{-1} b^{-1} a b. Jos a ja b yhdistyvät, kommutatorin arvo on identtinen elementti; tällöin a ja b muodostavat kommutatiivisen parin. Nilait情况issa renka- tai lineaarialgebrassa kahdesta endomorfismista A ja B kommutator määritellään [A,B] = AB − BA.

Ominaisuudet. Kommutatori on nolla silloin, kun alkut ristiriitaisten osa-alueiden välillä on täydellinen yhteisymmärrys (ne kommutoivat). Se on lineaarinen molempien argumenttien suhteen bilineaarisessa kontekstissa ja tavallisesti täyttää [A,B] = −[B,A] tiettyjen rakenteiden, kuten Lie-algebran, osalta. Lie-algebrassa kommutointi (vektori)riittävä bracketi täyttää Jacobi-identiteetin, mikä antaa rakenteelle sen geometrian ja dynamiikan perusulottuvuudet.

Esimerkkejä. Pauli-noppa- tai 2×2 -matriiseja tutkittaessa [σx, σy] = 2i σz; fysiikassa tunnettu kanoninen kommutaatio [x, p] = iħI kuvaa epätarkkuusperiaatetta. Ryhmäteoriassa kommutaatiojoukko G' (tai derived subgroup) muodostuu kaikkien [a,b]:n generaattoreista, ja G/G' on abelianisoitu.

Sovellukset. Kommutatorit ovat keskeisiä Lie-algebrassa, kvanttimekaniikassa, differentiaaligeometriassa ja kontrolliteoriassa sekä palvelijina rakenteiden luennoissa, kuten derived-algebran ja keskitettyjen rakenteiden tutkinnassa.